Se f (x , y) = (x y)/((x^2 + y^2)^2) para (x,y) ≠ (0,0), provar que (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = 0 Passo 1Para achar as derivadas parciais de segunda ordem precisamos derivar a função duas vezes em relação a cada variável, Assim: - Derivando em relação a x: f (x , y) = (x y)/((x^2 + y^2)^2) -> (del f)/(del x) = (y . (x^2 + y^2)^2 - x y . 2 . (x^2 + y^2)^1 . 2 x)/((x^2 + y^2)^4) -> (del f)/(del x) = (y . (x^2 + y^2)^2 - 4 x^2 y (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^4) = ((x^2 + y^2) . (y x^2 + y^3 - 4 x^2 y))/((x^2 + y^2)^4) (del f)/(del x) = (+ y x^2 + y^3 - 4 x^2 y)/((x^2 + y^2)^3) = (y . ( x^2 + y^2 - 4 x^2 ))/((x^2 + y^2)^3) = (y . (y^2 - 3 x^2))/((x^2 + y^2)^3) (del f)/(del x) = (y . (y^2 - 3 x^2))/((x^2 + y^2)^3) - Derivando novamente em relação a x: (del f)/(del x) = (y . (y^2 - 3 x^2))/((x^2 + y^2)^3) -> (del^2 f)/(del x^2) = ((- 6 x y) . (x^2 + y^2)^3 - (y^3 - 3 y x^2) . 3 . (x^2 + y^2)^2 . 2 x)/((x^2 + y^2)^6) (del^2 f)/(del x^2) = ((- 6 x y) . (x^2 + y^2)^3 - 6 (x y^3 - 3 y x^3) (x^2 + y^2)^2)/((x^2 + y^2)^6) -> (del^2 f)/(del x^2) = - 6 x y . ((x^2 + y^2)^3 + (y^2 - 3 x^2) (x^2 + y^2)^2)/((x^2 + y^2)^6) = - 6 x y ((x^2 + y^2)^2 ( x^2 + y^2 + y^2 - 3 x^2 ))/((x^2 + y^2)^6) (del^2 f)/(del x^2) = - 12 x y (( y^2 - x^2 ))/((x^2 + y^2)^4) Passo 2Agora faremos o mesmo, mas em relação a y: f (x , y) = (x y)/((x^2 + y^2)^2) -> (del f)/(del y) = (x . (x^2 + y^2)^2 - x y . 2 . (x^2 + y^2)^1 . 2 y)/((x^2 + y^2)^4) -> (del f)/(del y) = (x . (x^2 + y^2)^2 - 4 y^2 x (x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^4) = ((x^2 + y^2) . ( x^3 + x y^2 - 4 y^2 x ))/((x^2 + y^2)^4) (del f)/(del y) = (( x^3 + x y^2 - 4 y^2 x ))/((x^2 + y^2)^3) = (x . ( x^2 + y^2 - 4 y^2 ))/((x^2 + y^2)^4) = (x . (x^2 - 3 y^2))/((x^2 + y^2)^3) (del f)/(del y) = (x . (x^2 - 3 y^2))/((x^2 + y^2)^3) - Derivando novamente em relação a y: (del f)/(del y) = (x . (x^2 - 3 y^2))/((x^2 + y^2)^3) -> (del^2 f)/(del y^2) = ((- 6 x y) . (x^2 + y^2)^3 - (x^3 - 3 x y^2) . 3 . (x^2 + y^2)^2 . 2 y)/((x^2 + y^2)^6) (del^2 f)/(del y^2) = ((- 6 x y) . (x^2 + y^2)^3 - 6 (y x^3 - 3 x y^3) (x^2 + y^2)^2)/((x^2 + y^2)^6) -> (del^2 f)/(del y^2) = - 6 x y . ((x^2 + y^2)^3 + (x^2 - 3 y^2) (x^2 + y^2)^2)/((x^2 + y^2)^6) = - 6 x y ((x^2 + y^2)^2 ( x^2 + y^2 + x^2 - 3 y^2 ))/((x^2 + y^2)^6) (del^2 f)/(del y^2) = - 12 x y (( x^2 - y^2 ))/((x^2 + y^2)^4) Resposta (del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2) = (del^2 f)/(del x^2) = (- 12 x y ((y^2 - x^2))/((x^2 + y^2)^4)) + (- 12 x y ((x^2 - y^2))/((x^2 + y^2)^4)) = = (- 12 x y ((y^2 - x^2))/((x^2 + y^2)^4)) + (12 x y ((y^2 - x^2))/((x^2 + y^2)^4)) = 0 Logo, provamos a relação pedida. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA