Se g(x) = (a*x^2 + b*x + c) sen x + (d*x^2 + e*x + f) cos x , determinar os valores das constantes a, b, c, d, e, f tais que g'(x) = x² * sen(x)

Passo 1

Faaala, maninho(a)!!! Nesta questão podemos notar que vamos utilizar a regra do produto o mesmo processo da questão anterior, sendo assim, mãos à obra!

g x = a x 2 + b x + c s e n x + d x 2 + e x + f c o s x  

g ' ( x ) = ( a x 2 + b x + c ' s e n x + ( a x 2 + b x + c ) ( s e n x ) ' ) + ( d x 2 + e x + f ' c o s x + ( d x 2 + e x + f ) ( c o s x ) ' )

= 2 a x s e n x + b s e n x + a x 2 c o s x + b x c o s x + c c o s x + ( 2 d x c o s x + e c o s x - d x 2 s e n x - e x s e n x - f s e n x )

Organizando e isolando s e n x   e   c o s x , fica assim:

= 2 a x + b - d x 2 - e x - f s e n x + a x 2 + b x + c + 2 d x + e c o s x

Passo 2

Agora, comparando os coeficientes s e n x   e   c o s x , tem-se

2 a x + b - d x 2 - e x - f = x ²   ; a x 2 + b x + c + 2 d x + e = 0

d = - 1 ,   b = f ,   2 a = e   ;   c = 0 = e , a = 0 ,   b = - 2 d

Logo

a = 0 ,   b = 2 ,   c = 0 ,   d = - 1 ,   e = 0 ,   f = 2

Passo 3

Já que sabemos os valores agora de a, b, c, d, e, f vamos substituir na nossa resposta no Passo 1.

= 2 ( 0 ) x + 2 - ( - 1 ) x 2 - ( 0 ) x - 2 s e n x + 0 x 2 + 2 x + 0 + 2 ( - 1 ) x + 0 c o s x

= 2 + x 2 - 2 s e n x + 2 x - 2 x c o s x

= x ² s e n x

Com isso afirmamos que a derivada da incógnita é g ' x = x ² s e n x . Até a próxima 😊

Resposta

a = 0 ,   b = 2 ,   c = 0 ,   d = - 1 ,   e = 0 ,   f = 2