Se f(x) = (a*x + b) * sen(x) + (c*x + d) * cos(x) , determinar os valores das constantes a, b, c, d tais que f'(x) = x * cos x

Passo 1

Faaala, maninho(a)!!! Nesta questão podemos notar que vamos utilizar a regra do produto, sendo assim, mãos à obra!

f x = a x + b s e n x + c x + d c o s x

f ' ( x ) = ( a x + b ' s e n x + ( a x + b ) ( s e n x ) ' ) + ( c x + d ' c o s x + ( c x + d ) ( c o s x ) ' )

= a s e n x + c x + d c o s x   + ( c c o s x + ( c x + d ) ( - s e n x ) )

Organizando e isolando s e n x   e   c o s x , fica assim:

= a - c x - d s e n x + a x + b - c c o s x

Passo 2

Agora, comparando os coeficientes s e n x   e   c o s x , tem-se

a - c x - d = 0   ; a x + b - c = x

a - d = 0 ,   c = 0   ; a = 1 ,   b + c = 0

Logo

a = d = 1 ,   b = 0 = c

Passo 3

Já que sabemos os valores agora de a, b, c e d, vamos substituir na nossa resposta no Passo 1.

= a - c x - d s e n x + a x + b - c c o s x

= 1 - 0 x - 1 s e n x + 1 x + 0 - 0 c o s x

= x c o s x

Com isso afirmamos que a derivada da incógnita é f ' x = x c o s x .

Até a próxima 😊

Resposta

a = d = 1 ,   b = 0 = c