Se f(x) = (1 - raiz(x)) / (1 + raiz(x)) para x > 0 , determinar D f(x) , D^2 f(x) e D^3 f(x) .

Passo 1

Fala aí? Este exercício é a aplicação da regra da derivada do quociente. Para facilitar estes cálculos, escrevemos

f (x) = (1 - x^((1)/(2)))/(1 + x^((1)/(2)))

Passo 2

f^' (x) = ((0 - (1)/(2) x^(- (1)/(2))) (1 + x^((1)/(2))) - (1 - x^((1)/(2))) (0 + (1)/(2) x^(- (1)/(2))))/((1 + x^((1)/(2)))^2)

f^' (x) = ((- (1)/(2) x^(- (1)/(2)) - (1)/(2) x^0) - ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) - (1)/(2) x^0))/((1 + x^((1)/(2)))^2)

f^' (x) = (- (1)/(2) x^(- (1)/(2)) - (1)/(2) - (1)/(2) x^(- (1)/(2)) + (1)/(2))/((1 + x^((1)/(2)))^2)

f^' (x) = (2 * (- (1)/(2) x^(- (1)/(2))))/((1 + x^((1)/(2)))^2)

f^' (x) = (- x^(- (1)/(2)))/((1 + x^((1)/(2)))^2)

Fazendo D f (x) = f^' (x) , teremos

D f (x) = - (1)/(sqrt(x) (1 + sqrt(x))^2)

Passo 3

Como D f (x) = (- 1)/(x^((1)/(2)) (1 + x^((1)/(2)))^2) , então

D^2 f (x) = (( - 1 )^' * x^((1)/(2)) - ( - 1 ) * [x^((1)/(2)) (1 + x^((1)/(2)))]^')/([x^((1)/(2)) (1 + x^((1)/(2)))]^2)

D^2 f (x) = ((0) * x^((1)/(2)) + 1 * [(1)/(2) x^(- (1)/(2)) (1 + x^((1)/(2))) + x^((1)/(2)) (0 + (1)/(2) x^(- (1)/(2)))])/(x (1 + x^((1)/(2)))^2)

D^2 f (x) = ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + (1)/(2) + (1)/(2))/(x (1 + x^((1)/(2)))^2)

D^2 f (x) = ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1)/(x (1 + x^((1)/(2)))^2)

Passo 4

Como D^2 f (x) = ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1)/(x (1 + x^((1)/(2)))^2) , então

D^3 f (x) = (((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1)^' * x (1 + x^((1)/(2)))^2 - ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1) [x (1 + x^((1)/(2)))]^')/([x ( 1 + x^(1 // 2) )]^2)

D^3 f (x) = (- (1)/(4) x^(- (3)/(2)) * x * (1 + x^((1)/(2)))^2 - ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1) [1 * (1 + x^((1)/(2))) + x (0 + (1)/(2) x^(- (1)/(2)))])/([x (1 + x^((1)/(2)))]^2)

D^3 f (x) = (- (1)/(4) x^(- (1)/(2)) (1 + x^((1)/(2)))^2 + (- (1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1) (1 + x^((1)/(2)) + (1)/(2) x^((1)/(2))))/(x ² (1 + x^((1)/(2)))^2)

D^3 f (x) = (- (1)/(4) x^(- (1)/(2)) (1 + x^((1)/(2)))^2 + (- (1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1) (1 + (3)/(2) x^((1)/(2))))/(x ² (1 + x^((1)/(2)))^2)

Resposta

D f (x) = - (1)/(sqrt(x) (1 + sqrt(x))^2)

D^2 f (x) = ((1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1)/(x (1 + x^((1)/(2)))^2)

D^3 f (x) = (- (1)/(4) x^(- (1)/(2)) (1 + x^((1)/(2)))^2 + (- (1)/(2) x^(- (1)/(2)) + 1) (1 + x^((1)/(2)) + (1)/(2) x^((1)/(2))))/(x ² (1 + x^((1)/(2)))^2)