Calcular os integrais:

4) int_1^(1 - x) (1 - 2 t + 3 t^2) ⅆ t

Passo 1

Para calcular a integral definida, precisamos antes calcular a integral indefinida:

int 1 + t + t^2

int f ( x ) +- g (x) ⅆ x = int f (x) d x_-^+ int g (x) ⅆ x

Temos:

int 1 d t + int t d t + int t^2 ⅆ t

Passo 2

Nesse passo, devemos calcular cada integral que compõe a expressão, e em seguida, uni-las.

Começaremos pela integral: int 1 d t .

Usando a propriedade dos integrais que dispõe que: int 1 ⅆ x = x

Podemos resolver essa equação, e dizer que seu resultado é: t.

Partindo para segunda integral que compõe essa expressão: int t d t

Devemos usar a propriedade que dispõe: int f^n ⅆ x = (x^(n + 1))/(n^(+ 1))

Sendo assim, o resultado desta é: (t^2)/(2)

Por último, resolveremos a integral que sobrou, e usando a mesma propriedade usada anteriormente, temos que o resultado dessa é: (t^3)/(3)

Somando-as, temos:

t + (t^2)/(2) + (t^3)/(3)

Passo 3

Nesse ponto, devemos calcular a integral definida, e, para isso, é preciso devolver os limites da integração, e realizar o cálculo.

((t + (t^2)/(2) + (t^3)/(3))|_1^(( 1 - x ))

Para finalizar, basta calcular a expressão:

Usando F ((x)|_a^b = F (b) - F (a)

Temos:

( 1 - x ) + (( 1 - x )^2)/(2) + (( 1 - x )^3)/(3) - (1 + (1^2)/(2) + (1^3)/(3))

E, simplificando, chegamos ao resultado dessa integral:

- x^3 + 2 x^2 - 2 x

Resposta

O resultado dessa integral é:

- x^3 + 2 x^2 - 2 x

Agora que vencemos essa, topa encarar mais uma ?!