Achar f'(x) de:

f(x) = sec^2(x) + csc^2(x)

Passo 1

Primeiro vamos “abrir” a equação para facilitar nossa vida.

f (x) = (1)/(cos^2 x) + (1)/(s e n^2 x)

f (x) = (s e n^2 x + cos^2 x)/((c o s x s e n x)^2)

No numerador temos a relação fundamental da trigonometria e no denominador temos uma outra relação famosa que é: s e n 2 x = 2 s e n x c o s x -> s e n x c o s x = (1)/(2) s e n 2 x

f (x) = (1)/(((1)/(2) s e n 2 x)^2)

f (x) = (4)/(s e n^2 ( 2 x ))

Passo 2

Agora vamos derivar, lembrando que a derivada de algo vezes uma constante podemos tirar a constante da derivação

f^' (x) = 4 ((1)/(s e n^2 (2 x)))^'

f^' (x) = 4 ([ (s e n^2 (2 x))^' + (1) ' ( s e n^2 (2 x) ])/((s e n^2 (2 x))^2)

Usando a regra da cadeia:

f^' (x) = - 4 (2 s e n (2 x) 2 c o s ( 2 x ))/(s e n^4 ( 2 x ))

Passo 3

L o g o , f^' (x) = - (16 cos (2 x))/(s e n^3 (2 x))

Resposta

f^' (x) = - (16 cos (2 x))/(s e n^3 (2 x))