Traçar o gráfico do polinómio f(x) = x - x^3 , relativo ao intervalo -2 ≤ x ≤ 2 . Determinar as constantes m e b de modo que a reta y = m*x + b seja tangente à curva de f no ponto (-1, 0) . Uma segunda reta que passa por (-1, 0) é também tangente ao gráfico de f no ponto (a, c) . Determinar as coordenadas a e c .

Passo 1

Faala aí? Para além do esboço do gráfico do polinómio, o exercício se resume em encontrar a equação da reta tangente ao gráfico onde a inclinação desta reta é igual a derivada da função neste ponto da abcissa. Na tentativa de encontrar a equação da reta tangente ao gráfico encontraremos cada incógnita pedida.

Passo 2

Esboço do gráfico do polinómio

Passo 3

Como a reta y = m x + b é a reta tangente a curva no ponto ( - 1 ,   0 ) , então

f ' - 1 = m

Logo,

f ' x = 1 - 3 x ²

Fazendo x = - 1 , teremos

f ' - 1 = 1 - 3 - 1 2 = 1 - 3 = - 2

f ' - 1 = m = - 2

Como a reta tangente a curva passa pelo ponto ( - 1 ,   0 ) e tem inclinação m = - 2 , então podemos substituir estes pontos na equação da reta dada.

0 = - 2 - 1 + b

0 = 2 + b

b = - 2

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior, teremos

f ' a = m 1 = 1 - 3 a ²

Logo, a equação desta reta é

y = m 1 x + d

y = 1 - 3 a 2 x + d

Substituindo os valores das coordenadas dos pontos que passam pela reta ( - 1 ,   0 ) e ( a , c ) , teremos

0 = 1 - 3 a 2 - 1 + d

0 = - 1 + 3 a 2 + d

d = 1 - 3 a ²

Substituindo o segundo ponto, teremos

c = 1 - 3 a 2 a + d

c = a - 3 a 3 + d = a - 3 a 3 + 1 - 3 a 2 = 1 + a - 3 a 2 - 3 a ³

Como m 1 , d e c estão todas em função do a , então

y = m 1 x + d

y = 1 - 3 a 2 x + 1 - 3 a ²

Substituindo novamente as coordenadas do ponto ( - 1 ,   0 ) na equação desta reta, teremos

0 = 1 - 3 a 2 - 1 + 1 - 3 a ²

Resposta

m = - 2

b = - 2

c = 1 + a - 3 a 2 - 3 a ³