Trace o gráfico da função dada e ache, se existir, o limite indicado. Se o limite não existe, dê as razões.

f x = x 2 + 2 ,     s e   x < 1 4 - x ,     s e   x ≥ 1  

lim x → 1   - ⁡ f ( x ) ,     lim x → 1   + ⁡ f ( x ) ,     lim x → 1 ⁡ f ( x )    

Passo 1

Show de bola, galera! Bora começar pela melhor parte que é a confecção do gráfico. E a partir dele vamos estudar o limite. Com um bom gráfico, a análise fica muito facilitada. Portanto, vamos caprichar, hein!

Passo 2

Para o gráfico, temos que desenhar duas funções. Vamos usar 2 cores para ficar mais agradável visualmente:

Podemos perceber que o ponto de encontro é quando x = 1 , que é coerente com o que a questão nos pede. Assim, teremos agora que aparar as partes que “fogem” do intervalo dado. Então:

Passo 3

Com o gráfico bem desenhado, vamos analisar os limites.

À medida que a função vermelha se aproxima do ponto, os valores de x se tornam próximos de 1 e f ( x ) se aproxima de 3 . Logo

lim x → 1   - ⁡ f ( x ) = 3

À medida que a função azul se aproxima do ponto, os valores de x se tornam próximos de 3 / 2 e f x se aproxima de 3 . Logo

lim x → 1   + ⁡ f ( x ) = 3

Finalmente, como os limites laterais são iguais, concluímos que o limite da função no ponto indicado é o mesmo que esses dois. Logo

lim x → 1   ⁡ f ( x ) = 3

Novamente, vale ressaltar a importância de se desenhar um bom gráfico para resolver rápida e facilmente uma questão.

Resposta

lim x → 1   - ⁡ f ( x ) = 3

lim x → 1   + ⁡ f x = 3

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = 3