a) um triângulo isósceles está inscrito numa circunferência de raio r. se o ângulo 2 α no vértice é obrigado a tomar valores entre 0     e   π 2 , determinar os valores máximos e minimos do perímetro do triângulo. Explicar o raciocínio efetuado.

b) qual é o raio do menor disco circular suficientemente grande para cobrir todo o triângulo isósceles de perímetro dado L ? dar todos os raciocinios seguidos

Passo 1

Falaaaaaaaa galerinha tudo tranquilo?

Nesta letra (a) tendo,

cos ⁡ ( π - 2 α ) = - cos ⁡ ( 2 α )

S 2 = R 2 + R 2 - 2 R 2 cos ⁡ π - 2 α + 2 R 2 ( 1 + cos ⁡ 2 α ) = 2 R 2 ( 2 cos 2 ⁡ α ) = 4 R 2 cos 2 ⁡ α

S = 2 R c o s α

A equação de restrição vai ser,

P = 4 R cos ⁡ α + 2 R sin ⁡ ( 2 α )

Com isso,

D ' = 4 R   ( - sin ⁡ α ) + 4 R cos ⁡ 2 α = 0

cos ⁡ 2 α = sin ⁡ α

sin ⁡ α = - 1 2 ± 1 4 - 4 1 - 1 2 2 ( 1 ) = 1 2 > 0

P = 3 3   R   é o máximo

Passo 2

Já na (b) vamos ter que considrar um triângulo isósceles geral com 2 α como Ângulo da vértice e os lados dos isósceles de h, o perímetro P do triângulo vai ser ,

P = 2 h + 2 h sin ⁡ α = 2 h ( 1 + sin ⁡ α )  

h = P 2 ( 1 + sin ⁡ α ) → h 2 = R cos ⁡ α

com isso os extremos desta equação vai ser:

d R d α = 4 cos ⁡ α + 2 sin ⁡ 2 α + R ( - 4 sin ⁡ α + 4 cos ⁡ ( 2 α ) ) = 0

d R d α = 0 → cos ⁡ ( 2 α ) = sin ⁡ α → sin ⁡ α = 1 3 = cos ⁡ α = 2 3

R = 3 P 4 2 3 + 1 , portanto R = l 4

Resposta

R = l 4