Um triângulo retângulo variável ABC no plano XOY tem o ângulo reto no vértice B, o vértice A fixo na origem e o terceiro vértice C obrigado a permanecer sobre a parábola y = 1 + 7 x 2 36 . O ponto B parte do ponto 0,1 no instante t = 0 e desloca-se no s e m i - e i x o positivo   O Y  

Com uma velocidade constante de 2 c m s . Com que rapidez varia a área do triângulo quando t = 7/2 segundo?

Passo 1

Para começar vamos desenhar mais ou menos o que está ocorrendo

O gráfico é do tipo:

Nosso ponto B e C devem subir juntos (velocidade em y igual), pois B tem o ângulo (se um ficar com a coordenada y maior que o outro, não terá ângulo reto).

Sabemos pelo enunciado:

d y d t   = 2

Passo 2

Fica evidente que iremos usar área e sua derivada (pergunta da questão), então vamos logo achar esses valores:

á r e a =     A = x y 2

d A d t = y 2 d x d t + x 2 d y d t

Ou seja, olhando essa fórmula fica claro que para achar a derivada da área temos que achar d x d t ,   a p e n a s .

Passo 3

Pela equação da parábola:

y = 1 + 7 x 2 36 ,   d e r i v a n d o :

d y d t   = 14 x 36 d x d t ,   s u b s t i t u i n d o d y d t d x d t   = 36 7 x

Sabemos pela física que:

s = s o + v t

Iremos achar isso para acharmos qual o valor de y, após 7 2 s

Olhando o movimento em y e usando que ele começa em 0,1 ,     l o g o   y o = 1 :

y = y o + 2 t   → y = 1 + 2 7 2 = 8

Quando y = 8, temos x = 6 (basta ver a equação da parábola)Então, usando d x d t   = 36 7 x porém para t = 7 2 :

d x d t = 36 7 ( 6 ) = 6 7 ,   v o l t a n d o   n a   d e r i v a d a   d a   á r e a   e   s u b s t i t u i n d o :

d A d t = y 2 d x d t + x 2 d y d t

d A d t = 8 2   6 7 + 6 2   2 = 24 7 + 6 = 66 7  

Resposta

A área varia com rapidez de 66 7   c m 2 s