Um tronco de madeira com 12 pés de comprimento tem a forma de um tronco de cone circular reto com diâmetros nas extremidades de 4 e (4 + h) pés , com h ≥ 0 . Determinar , em função de h, o volume do maior cilindro circular reto que pode ser extraído do tronco, coincidindo o seu eixo com o eixo do tronco de cone .

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Primeiro passo aqui vai ser calcular,

y x = h 2 - y l 0 - x = h 2 l 0 →   h 2 - x h 2 l 0 l 0 - x

Com isso o volume vai ser ,

V = π π + y 2 l 0 - x = π H + x h 2 l 0 2 l 0 - x

Sendo, V x = 0 = π H 2 l 0 = π h ( 12 )

Passo 2

Sendo, V x = 0 = π H 2 l 0 = π h ( 12 )

d v d x = π 2 H + h x 2 l 0   h 2 l 0 l 0 - x + H + x h 2 l 0 2 - 1    

= π H + h x 2 l 0 h - H - 3 x h 2 l 0 → d v d x = 0 → x = h - H 2 l 0 3 h = v x = h - H 2 l 0 3 h

= π l 0 - h - H 2 l 0 3 h H + h 2 l 0   h - H 2 l 0 3 h 2

= π l 0 h + 2 H 3 27 h , onde H = 2 ,   l 0 = 12

Resposta

π l 0 h + 2 H 3 27 h , onde H = 2 ,   l 0 = 12