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Enunciado

Cálculo - Michael Spivak - Calculo Em Variedades- Ed: 1º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 10

Si T : R m → R n es una aplicación lineal, probar que existe un numero M tal que T h ≤ M | h | para h ∈ R m . Indicacion: acótese T h en función de | h | y de los términos que forman parte de la matriz de T.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Façamos a matriz M:

A = a 11 ⋯ a 1 m ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n m = a 1 ⋮ a n

Então:

M h = A h = ⟨ a 1 , h ⟩ ⋮ ⟨ a n , h ⟩

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

E então sabemos por definição que:

M h 2 = ∑ i = 1 n a i , h 2 ≤ ∑ i = 1 n a i * h 2 = ∑ i = 1 n a i 2 * h 2

Que é então:

M h 2 ≤ ∑ i = 1 n a i 2 * h 2

| M h | ≤ ∑ i = 1 n a i * h

De forma que:

M = ∑ i = 1 n a i

E obtemos o resultado

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)