Una aplicación lineal T : R^n → R^n se dice que conserva la norma si |T x| = |x| y que conserva el producto interior si ⟨T_x, T_y⟩ = ⟨x, y⟩ .

  1. Probar que T conserva la norma si e solo si conserva el producto interior
  2. Probar que una aplicación lineal de este tipo es 1-1 y que T^(-1) es de la misma natureza.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Para a)

Seja:

T x , T y = T x + T y 2 + T x - T y 2 4

Fatorando:

T x , T y = T x + y + T x - y 2 4

T x , T y = x + y + x - y 2 4

T x , T y = ⟨ x , y ⟩

Então que nas passagens tivemos que usar a conservação do produto interior para provar a conservação da norma de T.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Para b)

Seja T x , T y ∈ R com T x = T y então T x - T y = 0   logo:

0 = T x - T y , T x - T y = x - y ,   x , y

O que força com que x = y , que T é 1-1

Desde que T ∈ L ( R n ) e T é injetivo, o que é invertível. Assim, T - 1 ∈ L R n existe também. Para todo x , y ∈ R n , temos:

T - 1 x = T T - 1 x = | x |

E:

T - 1 x , T - 1 y = T T - 1 x ,   T T - 1 y = ⟨ x , y ⟩

Portanto T - 1 preserva a norma e o produto interno também.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)