Si A ⊂ [0,1] es la union de intervalos abiertos (a_i, b_i) tales que cada numero racional de 0,1 está contenido em algun (a_i, b_i) probar que la frontera de A es [0,1] - A .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

O enunciado é um pouco obvio. Se o intervalo é de [0,1], a fronteira dele é a região próxima [0,1]-A sendo A o conjunto. O problema é demonstrar isso matematicamente. Mas vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Façamos X = [ 0,1 ] , obviamente A é aberto desde que A = ⋃ i a i b i   .   Então X - A   é fechado em X de forma que X - A ¯ = X - A   desde que a fronteira de A (chamada de ∂ A ) seja ∂ A = A ¯ ∩ X - A ¯ = A ¯ ∩ X - A   o que é suficiente pra dizer que X - A está contido em A, assim X - A ⊆ A ¯ .

Maaas, porém contudo, entretando e todavia, X - A ⊆ A ¯ se mantém se e somente se A ¯ = X . Agora tomemos qualquer x ∈ X e em qualquer vizinhança aberta U de x em X.

Passo 3

Sabemos pela definição de fronteira que:

B x ∩ A ≠ ∅                                           ( 0.1 )

Que é equivalente:

B x ∩ R n - A ≠ ∅

Assim, desde que B seja compacto, existe y ∈ U . E assim havendo que haja um i tal que y ∈ ( a i ,   b i ) e usando a eq (0.1), que também quer dizer que U ∩ A ≠ ∅   o = U ∩ a i ,   b i ≠ ∅ , assim finalmente x ∈ A ¯   e X = A ¯ .

E está provado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)