Si es la union de intervalos abiertos tales que cada numero racional de está contenido em algun probar que la frontera de A es .
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba??
O enunciado é um pouco obvio. Se o intervalo é de [0,1], a fronteira dele é a região próxima [0,1]-A sendo A o conjunto. O problema é demonstrar isso matematicamente. Mas vamos lá?!
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Façamos , obviamente A é aberto desde que Então é fechado em X de forma que desde que a fronteira de A (chamada de seja o que é suficiente pra dizer que está contido em A, assim .
Maaas, porém contudo, entretando e todavia, se mantém se e somente se Agora tomemos qualquer e em qualquer vizinhança aberta U de x em X.
Passo 3
Sabemos pela definição de fronteira que:
Que é equivalente:
Assim, desde que seja compacto, existe . E assim havendo que haja um i tal que e usando a eq (0.1), que também quer dizer que o, assim finalmente e .
E está provado.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)