Usando indução, prove:

a) 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) / 2

b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nessa questão ele pede que usando indução você prove que,

a) 1 + 2 + ... + n = (n (n + 1))/(2)

b) 1 + 3 + 5 + ... + 2 n - 1 = n^2

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Na letra (a) sabendo que,

1 + 2 + ... + n = (n (n + 1))/(2)

Temos,

Por indução sobre n , para n = 1 a igualdade vale

sum_(k = 1)^n k = 1 = (1 ( 2 ))/(2)

Supondo a validade para n

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Vamos provar para n + 1

sum_(k = 1)^n k = (( n + 1 ) ( n + 2 ))/(2)

Ficando por fim a definição por somatório ficando,

sum_(k = 1)^n k = (n + 1) + sum_(k = 1)^n k = (n + 1) + (n ( n + 2 ))/(2) = (n + 1) (1 + (n)/(2))

Ficando,

(( n + 1 ) ( n + 2 ))/(2)

Passo 3

Na letra (b) sabendo que,

1 + 3 + 5 + ... + 2 n - 1 = n^2

Para,

sum_(k = 1)^n (2 k - 1) = n^2

Por indução sobre n . Para n = 1 temos,

sum_(k = 1)^n (2 k - 1) = 2.1 - 1 = 1 = 1^2

Supondo a validade para n

sum_(k = 1)^n (2 k - 1) = n^2

Vamos provar para n + 1 ,

sum_(k = 1)^(n + 1) (2 k - 1) = ( n + 1 )^2

Usando a definição de somatório e hipótese da indução, ficamos

sum_(k = 1)^(n + 1) (2 k - 1) + 2 n + 1 = n^2 + 2 n + 1 = (n + 1)^2

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

a) (( n + 1 ) ( n + 2 ))/(2)

b) (n + 1)^2