Usar a identidade c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ou s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 2 π t c o s 2 π t   d t

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e/ou cosseno, com ambas sendo par.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer primeiro uma substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ s e n 2 π t c o s 2 π t   d t

Podemos fazer:

u = π t

d u = π d t → d u π = d t

E a nossa Integral fica assim:

∫ s e n 2 u c o s 2 u   d u π = 1 π ∫ s e n 2 u c o s 2 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral

Usando as identidades:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 ;         c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 π ∫ 1 - cos ⁡ 2 u 1 + cos ⁡ 2 u 4   d u = 1 4 π ∫ 1 - c o s 2 2 u d u

Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = 2 u

d v = 2 d u → d v 2 = d u

Aí sobram duas integrais bem suaves de resolver:

1 4 π ∫ 1   d v 2 - ∫ cos 2 ⁡ v d v 2 = 1 8 π ∫ 1   d v - ∫ cos 2 ⁡ v   d v

E podemos aplicar novamente a identidade:

= 1 8 π ∫ 1   d v - 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 v   d v = 1 16 π ∫ 1   d v + ∫ cos ⁡ 2 v   d v

= 1 16 π v + s e n 2 v 2 + C

Passo 4

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, t :

v = 2 u

Temos:

1 16 π 2 u + s e n 2 2 u 2 + C = 1 16 π 2 u + s e n 4 u 2 + C

E voltando

u = π t

Temos:

1 16 π 2 π t + s e n 4 π t 2 + C = 1 16 π 4 π t + s e n 4 π t 2 + C

= 4 π t + s e n ( 4 π t ) 32 π + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 2 π t c o s 2 π t   d t = 4 π t - s e n 4 π t 32 π + C