Usar a identidade c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ou s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ c o s 4 2 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e/ou cosseno, com ambas sendo par.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer primeiro uma substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ c o s 4 2 x   d x

Podemos fazer:

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

E a nossa Integral fica assim:

∫ c o s 4 u d u 2 = 1 2 ∫ c o s 4 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral

Usando a relação:

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 2 ∫ c o s 2 u 2   d u = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 2   d u = 1 2 * 4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u ²   d u

= 1 8 ∫ c o s 2 2 u + 2 cos ⁡ 2 u + 1   d u

Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = 2 u

d v = 2 d u → d v 2 = d u

Temos:

1 8 ∫ c o s 2 v + 2 cos ⁡ v + 1 d v 2 = 1 16 ∫ c o s 2 v + 2 cos ⁡ v + 1   d v

E, podemos usar a nossa identidade novamente:

= 1 16 ∫ 1 + cos ⁡ 2 v 2 + 2 cos ⁡ v + 1   d v

= 1 16 ∫ 1 2   d v + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 v   d v + 2 ∫ cos ⁡ v   d v + ∫ 1   d v

= 1 16 1 2 ∫ cos ⁡ 2 v   d v + 2 ∫ cos ⁡ v   d v + ∫ 1 2 + 1   d v

= 1 16 1 2 ∫ cos ⁡ 2 v   d v + 2 ∫ cos ⁡ v   d v + 3 2 ∫ 1   d v

Finalmente, podemos resolver:

= 1 16 sen ⁡ 2 v 4 + 2 s e n v + 3 v 2 + C

Passo 4

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

v = 2 u

Temos:

= 1 16 s e n 2 2 u 4 + 2 s e n 2 u + 3 2 u 2 + C = 1 16 s e n 4 u 4 + 2 s e n 2 u + 3 u + C

E voltando...

u = 2 x

Temos:

1 16 s e n 4 2 x 4 + 2 s e n 2 2 x + 3 2 x + C = 1 16 s e n 8 x 4 + 2 s e n 4 x + 6 x + C

= 1 16 s e n 8 x + 8 s e n 4 x + 24 x 4 + C = s e n 8 x + 8 s e n 4 x + 24 x 64 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ c o s 4 2 x   d x = s e n 8 x + 8 s e n 4 x + 24 x 64 + C