Usar a identidade c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ou s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 6 u   d u

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e/ou cosseno, com ambas sendo par.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral

Usando a relação:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

∫ s e n 6 u   d u = ∫ s e n 2 u 3   d u = ∫ 1 - cos ⁡ 2 u 2 3   d u = 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 2 u 3   d u

= 1 8 ∫ 1 - c o s 3 2 u - 3 cos ⁡ 2 u + 3 c o s 2 2 u   d u

= 1 8 ∫ 1   d u - ∫ c o s 3 2 u   d u - 3 ∫ cos ⁡ 2 u   d u + 3   ∫ c o s 2 2 u   d u

Vamos fazer uma substituição simples, se liga:

v = 2 u

d v = 2 d u → d v 2 = d u

= 1 16 ∫ 1   d v - ∫ cos 3 ⁡ v   d v - 3 ∫ cos ⁡ v   d v + 3 ∫ c o s 2 v   d v

Passo 3

Vamos pensar um pouquinho aqui...

Nós podemos aplicar nossa identidade, mais uma vez, para simplificar um pouco mais nossa integral, certo?

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Então, temos:

= 1 16 ∫ 1   d v - ∫ c o s 3 v   d v - 3 ∫ cos ⁡ v   d v + 3 ∫ 1 + cos ⁡ 2 v 2   d v

= 1 16 ∫ 1   d v - ∫ cos 3 ⁡ v   d v - 3 ∫ cos ⁡ v   d v + ∫ 3 2   d v + 3 2 ∫ cos ⁡ 2 v d v

Resolvendo...

= 1 16 v - 3 s e n v + 3 v 2 + 3 sen ⁡ 2 v 4 - ∫ c o s 3 v   d v

Passo 4

Tá vendo aquela integral ali que sobrou? Vamos resolver separadamente, beleza?

Repare que ela envolve um cosseno com expoente ímpar...

A ideia é usar isso aqui:

Bora?!

∫ c o s 3 v   d v = ∫ c o s 2 v cos ⁡ v   d v

E podemos aplicar a seguinte relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1   →   c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Daí vai ficar assim:

∫ 1 - s e n 2 v cos ⁡ v   d v

E fazendo uma substituição simples...

w = s e n v

d w = cos ⁡ v d v

∫ 1 - w 2   d w = ∫ 1   d w - ∫ w 2   d w = w - w 3 3 + C

Agora, voltando para a variável v :

= s e n v - s e n 3 v 3 + C

E a nossa solução completa, em v , fica assim:

= 1 16 v - 3 s e n v + 3 v 2 + 3 sen ⁡ 2 v 4 - s e n v + s e n 3 v 3 + C

= 1 16 5 v 2 - 4 s e n v + 3 sen ⁡ 2 v 4 + s e n 3 v 3 + C

Passo 5

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, u :

v = 2 u

Temos:

= 1 1 6 5 2 u 2 - 4 s e n 2 u + 3 sen ⁡ 2 2 u 4 + s e n 3 2 u 3 + C

= 5 u 16 - s e n 2 u 4 + 3 sen ⁡ 4 u 64 + s e n 3 2 u 48 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 6 u   d u = 5 u 16 - s e n 2 u 4 + 3 s e n 4 u 64 + s e n 3 2 u 48 + C