Usar a identidade c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ou s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ 0 π 8 s e n 4 2 x c o s 2 2 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e/ou cosseno, com ambas sendo par.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer primeiro uma substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ 0 π 8 s e n 4 2 x c o s 2 2 x   d x

Podemos fazer:

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

x = π 8 → u = 2 * π 8 = π 4

x = 0 → u = 2 * 0 = 0

E a nossa Integral fica assim:

∫ 0 π 4 s e n 4 u c o s 2 u d u 2 = 1 2 ∫ 0 π 4 s e n 4 u c o s 2 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral

Usando as identidades:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 ;         c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 2 ∫ 0 π 4 s e n 2 u 2 c o s 2 u   d u = 1 2 ∫ 0 π 4 1 - cos ⁡ 2 u 2 2 1 + cos ⁡ 2 u 2   d u

= 1 4 ∫ 0 π 4 c o s 2 2 u 4 - cos ⁡ 2 u 2 + 1 4 1 + cos ⁡ 2 u   d u

= 1 4 ∫ 0 π 4 c o s 2 2 u 4 - cos ⁡ 2 u 2 + 1 4 + c o s 3 2 u 4 - c o s 2 2 u 2 + cos ⁡ 2 u 4   d u

1 4 ∫ 0 π 4 c o s 3 2 u - 2 c o s 2 2 u + c o s 2 2 u - 2 cos ⁡ 2 u + cos ⁡ 2 u + 1 4   d u

= 1 16 ∫ 0 π 4 c o s 3 2 u - c o s 2 2 u - cos ⁡ 2 u + 1   d u

Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = 2 u

d v = 2 d u → d v 2 = d u

u = π 4 → v = 2 * π 4 = π 2

u = 0 → v = 2 * 0 = 0

= 1 16 ∫ 0 π 2 c o s 3 v - c o s 2 v - cos ⁡ v + 1 d v 2

= 1 32 ∫ 0 π 2 1   d v - ∫ 0 π 2 cos ⁡ v   d v - ∫ 0 π 2 c o s 2 v   d v + ∫ 0 π 2 c o s 3 v   d v

Passo 4

Agora que separamos essa integral em 4 , podemos resolver uma a uma, separadamente, e depois somar tudo!

Vamos lá

  1. Vamos começar pela mais simples:
  2. 1 32 ∫ 0 π 2 1   d v = 1 32 v 0 π 2 = 1 32 π 2 - 0 = π 64

  3. - 1 32 ∫ 0 π 2 cos ⁡ v   d v = - 1 32 s e n v 0 π 2 = - 1 32 s e n π 2 - s e n 0 = - 1 32 1 - 0 = - 1 32

  4. - 1 32 ∫ 0 π 2 c o s 2 v   d v

    Nessa integral aqui a gente pode aplicar a nossa identidade novamente:

    c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

    Aí fica assim:

    - 1 32 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 v 2   d v = - 1 32 ∫ 0 π 2 1 2   d v + 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 v   d v

    = - 1 64 v 0 π 2 + s e n 2 v 2 0 π 2 = - 1 64 π 2 - 0 + s e n π 2 - s e n 0 2

    = - 1 64 π 2 + 0 = - π 128

  5. E por último...

1 32 ∫ 0 π 2 c o s 3 v   d v = 1 32 ∫ 0 π 2 c o s 2 v cos ⁡ v   d v

E podemos usar a seguinte relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

E a nossa integral fica assim:

= 1 32 ∫ 0 π 2 1 - s e n 2 v cos ⁡ v   d v

Fazendo uma substituição simples:

w = s e n v

d w = cos ⁡ v   d v

v = π 2 → w = s e n π 2 = 1

v = 0 → w = s e n 0 = 0

E fica assim:

= 1 32 ∫ 0 1 1 - w 2   d w = 1 32 ∫ 0 1 1   d w - ∫ 0 1 w 2   d w = 1 32 w 0 1 - w 3 3 0 1

= 1 32 1 - 0 - 1 3 - 0 = 1 32 1 - 1 3 = 1 32 * 2 3 = 2 96

Prontinho! Finalmente, podemos somar tudo e chegar na nossa solução final:

= π 64 - 1 32 - π 128 + 2 96 = π * 6 - 1 * 12 - π * 3 + 2 * 4 384 = 6 π - 3 π - 12 + 8 384 = 3 π - 4 384

Sem mistério!

Resposta

∫ 0 π 8 s e n 4 2 x c o s 2 2 x   d x = 3 π - 4 3 84