Usar a identidade c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ou s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ 0 π s e n 8 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e/ou cosseno, com ambas sendo par.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral

Usando a identidade:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

∫ 0 π s e n 2 x 4   d x = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x 2 4   d x = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 x 2 2 1 - cos ⁡ 2 x 2 2   d x

= ∫ 0 π c o s 2 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 2 + 1 4 c o s 2 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 2 + 1 4   d x

= ∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x 16 - c o s 3 2 x 8 + c o s 2 2 x 16 - c o s 3 2 x 8 + c o s 2 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 8 + c o s 2 2 x 16 - cos ⁡ 2 x 8 + 1 16   d x

= ∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x - 4 c o s 3 2 x + 6 c o s 2 2 x - 4 cos ⁡ 2 x + 1 16   d x

= 1 16 ∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 x - 4 c o s 3 2 x + 6 c o s 2 2 x - 4 cos ⁡ 2 x + 1   d x

Vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

x = π → u = 2 π

x = 0 → u = 2 * 0 = 0

= 1 16 ∫ 0 2 π c o s 4 u - 4 c o s 3 u + 6 cos 2 ⁡ u - 4 cos ⁡ u + 1 d u 2

= 1 32 ∫ 0 2 π 1   d u - 4 ∫ 0 2 π cos ⁡ u   d u + 6 ∫ 0 2 π c o s 2 u   d u - 4 ∫ 0 2 π c o s 3 u   d u + ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ ( u )   d u

Passo 3

Agora que separamos essa integral em 5 , podemos resolver uma a uma, separadamente, e depois somar tudo!

Vamos lá

  1. Vamos começar pela mais simples:
  2. 1 32 ∫ 0 2 π 1   d u = 1 32 u 0 2 π = 1 32 2 π - 0 = 2 π 32 = π 16

  3. - 4 32 ∫ 0 2 π cos ⁡ u   d u = - 1 8 s e n u 0 2 π = - 1 8 s e n 2 π - s e n 0 = - 1 8 0 - 0 = 0

  4. - 6 32 ∫ 0 2 π c o s 2 u   d u = - 3 16 ∫ 0 2 π c o s 2 u   d u

    Nessa integral aqui a gente pode aplicar a nossa identidade novamente:

    c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

    Aí fica assim:

    - 3 16 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 u 2   d u = - 3 32 ∫ 0 2 π 1   d u + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 u   d u

    = - 3 32 u 0 2 π + s e n 2 u 2 0 2 π = - 3 32 2 π - 0 + s e n 4 π 2 - s e n 0 2

    = - 3 32 2 π + 0 = - 3 π 16

  5. - 4 32 ∫ 0 2 π c o s 3 u   d u = - 1 8 ∫ 0 2 π c o s 2 u cos ⁡ u   d u

    E podemos usar a seguinte relação:

    s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

    E a nossa integral fica assim:

    = - 1 8 ∫ 0 2 π 1 - s e n 2 u cos ⁡ u   d u

    Fazendo uma substituição simples:

    v = s e n u

    d v = cos ⁡ u   d u

    u = 2 π → v = s e n 2 π = 0

    u = 0 → v = s e n 0 = 0

    E fica assim:

    = - 1 8 ∫ 0 0 1 - v 2   d v = 0

  6. E por último...

1 32 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ ( u )   d u = 1 32 ∫ 0 2 π c o s 2 u 2   d u

Usando a identidade:

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 32 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 u 2 2   d u = 1 128 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 u 2   d u

= 1 128 ∫ 0 2 π c o s 2 2 u + 2 cos ⁡ 2 u + 1   d u

Fazendo mais uma substituição.... (de novo, eu sei...):

v = 2 u

d v = 2 d u → d v 2 = d u  

u = 2 π → v = 2 * 2 π = 4 π

u = 0 → v = 2 * 0 = 0

= 1 128 ∫ 0 4 π c o s 2 v + 2 cos ⁡ v + 1 d v 2

= 1 256 ∫ 0 4 π c o s 2 v   d v + 2 ∫ 0 4 π cos ⁡ v   d v + ∫ 0 4 π 1   d v

E, aplicando a nossa identidade mais uma vez...

= 1 256 ∫ 0 4 π 1 + cos ⁡ 2 v 2   d v + 2 s e n v 0 4 π + v 0 4 π

= 1 256 1 2 ∫ 0 4 π 1   d v + ∫ 0 4 π cos ⁡ 2 v   d v + 2 s e n 4 π - s e n 0 + 4 π - 0

= 1 256 1 2 v 0 4 π + 1 2 s e n 2 v 2 0 4 π + 2 0 - 0 + 4 π

= 1 256 1 2 4 π - 0 + 1 4 s e n 8 π - s e n 0 + 4 π = 1 256 2 π + 4 π = 6 π 256 = 3 π 128  

Prontinho! Finalmente, podemos somar tudo e chegar na nossa solução final:

= π 16 + 0 - 3 π 16 + 0 + 3 π 128 = π * 8 - 3 π * 8 + 3 π 128 = 8 π - 24 π + 3 π 128 = 13 π 128

Sem mistério!

Resposta

∫ 0 π s e n 8 x   d x = 13 π 128