Usar a identidade c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ou s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ c o s 2 x 2   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e/ou cosseno, com ambas sendo par.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer primeiro uma substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ c o s 2 x 2   d x

Podemos fazer:

u = x 2

d u = d x 2 → 2 d u = d x

E a nossa Integral fica assim:

∫ c o s 2 u   2 d u = 2 ∫ c o s 2 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral

Usando a relação:

c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Podemos reescrever da seguinte forma:

2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2   d u = 2 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u d u = ∫ 1   d u + ∫ cos ⁡ 2 u   d u

Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = 2 u

d v = 2 d u → d v 2 = d u

Aí sobram duas integrais bem suaves de resolver:

∫ 1 d v 2 + ∫ cos ⁡ v d v 2 = 1 2 ∫ 1   d v + ∫ cos ⁡ v   d v = 1 2 v + s e n v + C

Passo 4

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

v = 2 u

Temos:

2 u + s e n 2 u 2 + C

E voltando

u = x 2

Temos:

2 x 2 + s e n 2 x 2 2 + C = x + s e n x 2 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ c o s 2 x 2   d x = x + s e n x 2 + C