Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 5 x c o s 2 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

∫ s e n 5 x c o s 2 x   d x = ∫ s e n 4 x s e n x c o s 2 x   d x

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

∫ s e n 2 x 2 c o s 2 x s e n x   d x = ∫ 1 - c o s 2 x 2 c o s 2 x s e n x   d x

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = c o s x

d u = - s e n x   d x → - 1   d u = s e n x   d x

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

∫ 1 - u 2 2 u 2 - 1   d u = - ∫ u 4 - 2 u 2 + 1 u 2   d u

= - ∫ u 6 - 2 u 4 + u 2   d u = - ∫ u 6   d u + 2 ∫ u 4   d u - ∫ u 2   d u = - u 7 7 + 2 u 5 5 - u 3 3 + C

Passo 3

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

u = c o s x

Temos:

- cos 7 ⁡ x 7 + 2 cos 5 ⁡ x 5 - c o s 3 x 3 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 5 x c o s 2 x   d x = - cos 7 ⁡ x 7 + 2 cos 5 ⁡ x 5 - c o s 3 x 3 + C