Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ c o s ³ x s e n ³ x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com ambas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

∫ c o s ³ x s e n ³ x   d x = ∫ s e n 3 x c o s 2 x cos ⁡ x   d x

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

∫ s e n 3 x 1 - s e n 2 x cos ⁡ x   d x

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = s e n x

d u = cos ⁡ x d x

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

∫ u 3 1 - u 2 d u = ∫ u 3 - u 5   d u

= ∫ u 3   d u - ∫ u 5   d u = u 4 4 - u 6 6 + C

Passo 3

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

u = s e n x

Temos:

s e n 4 x 4 - s e n 6 x 6 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ c o s 3 x s e n 3 x   d x = s e n 4 x 4 - s e n 6 x 6 + C