Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 3 4 x c o s 2 4 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ s e n 3 4 x c o s 2 4 x   d x

Podemos fazer:

u = 4 x

d u = 4 d x → d u 4 = d x

E a nossa Integral fica assim:

∫ s e n 3 u c o s 2 u d u 4 = 1 4 ∫ s e n 3 u c o s 2 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

1 4 ∫ s e n 3 u c o s 2 u   d u = 1 4 ∫ s e n 2 u c o s 2 u sen ⁡ u d u

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 4 ∫ 1 - c o s 2 u c o s 2 u sen ⁡ u d u

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = c o s u

d v = - sen ⁡ u d u → - 1   d v = s e n u   d u

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

1 4 ∫ 1 - v 2 v 2 - 1   d v = - 1 4 ∫ v 2 - v 4   d v

= - 1 4 ∫ v 2   d v - ∫ v 4   d v = - 1 4 v 3 3 - v 5 5 + C = v 5 20 - v 3 12 + C

Passo 4

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

v = c o s u

Temos:

cos 5 ⁡ u 20 - c o s 3 u 12 + C

E voltando

u = 4 x

Temos:

cos 5 ⁡ ( 4 x ) 20 - c o s 3 4 x 12 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 3 4 x c o s 2 4 x   d x = cos 5 ⁡ 4 x 20 - c o s 3 x 12 + C