Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ 0 π 3 s e n 2 3 x cos 5 ⁡ ( 3 x )   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ 0 π 3 s e n 2 3 x cos 5 ⁡ ( 3 x )   d x

Podemos fazer:

u = 3 x

d u = 3 d x → d u 3 = d x

E calculando nossos novos limites de integração em u :

x = π 3 → u = 3 π 3 = π

x = 0 → u = 3 * 0 = 0

E a nossa Integral fica assim:

∫ 0 π s e n 2 u cos 5 ⁡ ( u ) d u 3 = 1 3 ∫ 0 π s e n 2 u cos 5 ⁡ ( u )   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

1 3 ∫ 0 π s e n 2 u cos 5 ⁡ ( u )   d u = 1 3 ∫ 0 π s e n 2 u cos 4 ⁡ ( u ) cos ⁡ u   d u

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 3 ∫ 0 π s e n 2 u c o s 2 u 2 cos ⁡ u   d u = 1 3 ∫ 0 π s e n 2 u 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u   d u

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = s e n u

d v = cos ⁡ u d u

Não esqueça os limites de integração!

u = π → v = s e n π = 0

u = 0 → v = s e n 0 = 0

Passo 4

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

1 3 ∫ 0 0 v 2 1 - v 2 2   d v

OPAAAA...

Você está vendo o que estou vendo?!!!

Temos uma integral definida onde seus limites de integração são OS MESMOS.

E temos uma propriedade que nos diz que quando uma integral definida tem limites superior e inferior iguais, seu resultado é nulo, ou seja:

∫ a a f x   d x = 0

Que é EXATAMENTE o nosso caso!

Então, podemos afirmar que:

1 3 ∫ 0 0 v 2 1 - v 2 2   d v = 0

Sem mistério!

Resposta

∫ 0 π 3 s e n 2 3 x cos 5 ⁡ 3 x   d x = 0