Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ 1 4 1 2 cos 5 ⁡ π u s e n 2 π u   d u

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ 1 4 1 2 cos 5 ⁡ π u s e n 2 π u   d u

Podemos fazer:

w = π u

d w = π d u → d w π = d u

E calculando nossos novos limites de integração em u :

u = 1 2 → w = π 2

u = 1 4 → w = π 4

E a nossa Integral fica assim:

∫ π 4 π 2 cos 5 ⁡ w s e n 2 w   d w π = 1 π ∫ π 4 π 2 cos 5 ⁡ w s e n 2 w   d w

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

1 π ∫ π 4 π 2 cos 5 ⁡ w s e n 2 w   d w = 1 π ∫ π 4 π 2 sen - 2 w cos 4 ⁡ w cos ⁡ w   d w

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 π ∫ π 4 π 2 s e n - 2 w c o s 2 w 2 cos ⁡ w   d w = 1 π ∫ π 4 π 2 s e n - 2 w 1 - s e n 2 w 2 cos ⁡ w   d w

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = s e n w

d v = cos ⁡ w d w

Não esqueça os limites de integração!

w = π 2 → v = s e n π 2 = 1

w = π 4 → v = s e n π 4 = 2 2

Passo 4

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

1 π ∫ 2 2 1 v - 2 1 - v 2 2   d v = 1 π ∫ 2 2 1 v - 2 v 4 - 2 v 2 + 1   d v = 1 π ∫ 2 2 1 v 2 - 2 v 0 + v - 2   d v

= 1 π ∫ 2 2 1 v 2   d v - ∫ 2 2 1 2   d v + ∫ 2 2 1 v - 2 = 1 π v 2 + 1 2 + 1 2 2 1 - 2 v 0 + 1 0 + 1 2 2 1 + v - 2 + 1 - 2 + 1 2 2 1

= 1 π v 3 3 2 2 1 - 2 v 2 2 1 + v - 1 - 1 2 2 1 = 1 π 1 3 1 - 2 2 3 - 2 1 - 2 2 - 1 - 2 2

= 1 π 1 3 - 2 3 - 2 + 2 - 1 + 2 2 = 1 π 1 - 6 - 3 3 + - 2 + 3 2 3 + 2

= 1 π - 8 3 + 2 2 + 3 2 3 = - 8 + 5 2 3 π

Sem mistério!

Resposta

∫ 1 4 1 2 cos 5 ⁡ π u s e n 2 π u   d u = 5 2 - 8 3 π