Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 3 x cos 4 ⁡ x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

∫ s e n 3 x c o s 4 x   d x = ∫ s e n 3 x c o s - 4 x   d x = ∫ cos - 4 ⁡ x s e n 2 x s e n x   d x

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

= ∫ c o s - 4 x 1 - c o s 2 x s e n x   d x

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = c o s x

d u = - s e n x   d x → - 1   d u = s e n x   d x

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

∫ u - 4 1 - u 2 - 1   d u = - ∫ u - 4 - u - 2   d u

= - ∫ u - 4   d u + ∫ u - 2   d u = - u - 3 - 3 + u - 1 - 1 + C = 1 3 u 3 - 1 u + C

Passo 3

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

u = c o s x

Temos:

1 3 c o s 3 x - 1 cos ⁡ x + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 3 x c o s 4 x   d x = 1 3 c o s 3 x - 1 cos ⁡ x + C