Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 4 2 x c o s 5 2 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ s e n 4 2 x c o s 5 2 x   d x

Podemos fazer:

u = 2 x

d u = 2 d x → d u 2 = d x

E a nossa Integral fica assim:

∫ s e n 4 u c o s 5 u d u 2 = 1 2 ∫ s e n 4 u c o s 5 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

1 2 ∫ s e n 4 u c o s 5 u   d u = 1 2 ∫ s e n 4 u c o s 4 u cos ⁡ u d u

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 2 ∫ s e n 4 u c o s 2 u 2 cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ s e n 4 u 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u   d u

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = s e n u

d v = cos ⁡ u d u

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

1 2 ∫ v 4 1 - v 2 2   d v = 1 2 ∫ v 4 v 4 - 2 v 2 + 1   d v

= 1 2 ∫ v 8 - 2 v 6 + v 4   d v = 1 2 ∫ v 8   d v - 2 ∫ v 6   d v + ∫ v 4   d v = 1 2 v 9 9 - 2 v 7 7 + v 5 5 + C

= v 9 18 - v 7 7 + v 5 10 + C

Passo 4

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

v = s e n u

Temos:

s e n 9 u 18 - s e n 7 u 7 + s e n 5 u 10 + C

E voltando

u = 2 x

Temos:

s e n 9 2 x 18 - s e n 7 2 x 7 + s e n 5 2 x 10 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 4 2 x c o s 5 2 x   d x = s e n 9 2 x 18 - s e n 7 2 x 7 + s e n 5 2 x 10 + C