Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ π 4 π 2 c o s 3 x s e n x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

∫ π 4 π 2 c o s 3 x s e n x   d x = ∫ π 4 π 2 c o s 3 x s e n x 1 2   d x = ∫ π 4 π 2 c o s 3 x s e n - 1 2 x   d x

= ∫ π 4 π 2 c o s 2 x s e n - 1 2 x cos ⁡ x   d x

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

= ∫ π 4 π 2 1 - s e n 2 x s e n - 1 2 x cos ⁡ x   d x

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma substituição simples, se liga:

u = s e n x

d u = c o s x   d x

Lembrando de calcular nossos novos limites de integração, agora em u :

x = π 2 → u = s e n π 2 = 1

x = π 4 → u = s e n π 4 = 2 2

Substituindo...

∫ 2 2 1 1 - u 2 u - 1 2   d u

Passo 3

Agora sobra uma integral bem suave de resolver:

∫ 2 2 1 1 - u 2 u - 1 2   d u = ∫ 2 2 1 u - 1 2 - u 2 - 1 2   d u = ∫ 2 2 1 u - 1 2 - u 3 2   d u = ∫ 2 2 1 u - 1 2   d u - ∫ 2 2 1 u 3 2   d u

= u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 2 2 1 - u 3 2 + 1 3 2 + 1 2 2 1 = u 1 2 1 2 2 2 1 - u 5 2 5 2 2 2 1 = 2 u 1 2 2 2 1 - 2 u 5 2 5 2 2 1

= 2 1 1 2 - 2 2 1 / 2 - 2 5 1 5 2 - 2 2 5 2 = 2 - 2 2 2 - 2 5 + 2 5 2 2 5 2

= 10 - 2 5 - 2 2 2 + 2 5 2 2 5 2 = 8 5 - 2 2 2 + 2 5 2 2 5 2

Sem mistério!

Resposta

∫ c o s 3 x s e n x   d x = 8 5 - 2 2 2 + 2 5 2 2 5 2