Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ 0 1 2 s e n π t 4 cos 3 ⁡ ( π t )   d t

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ 0 1 2 s e n π t 4 cos 3 ⁡ ( π t )   d t

Podemos fazer:

u = π t

d u = π d t → d u π = d t

E calculando nossos novos limites de integração em u :

t = 1 2 → u = π 2

t = 0 → u = π * 0 = 0

E a nossa Integral fica assim:

∫ 0 π 2 s e n u 4 cos 3 ⁡ ( u ) d u π = 1 π ∫ 0 π 2 s e n u 4 cos 3 ⁡ ( u )   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

1 π ∫ 0 π 2 s e n u 4 cos 3 ⁡ ( u )   d u = 1 π ∫ 0 π 2 s e n u 4 cos 2 ⁡ ( u ) cos ⁡ u   d u

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 π ∫ 0 π 2 s e n u 1 4 1 - s e n 2 u cos ⁡ u   d u

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = s e n u

d v = cos ⁡ u d u

Não esqueça os limites de integração!

u = π 2 → v = s e n π 2 = 1

u = 0 → v = s e n 0 = 0

Passo 4

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

1 π ∫ 0 1 v 1 4 1 - v 2   d v = 1 π ∫ 0 1 v 1 4 - v 2 + 1 4   d v = 1 π ∫ 0 1 v 1 4 - v 9 4   d v

= 1 π ∫ 0 1 v 1 4   d v - ∫ 0 1 v 9 4   d v = 1 π v 1 4 + 1 1 4 + 1 0 1 - v 9 4 + 1 9 4 + 1 0 1 = 1 π v 5 4 5 4 0 1 - v 13 4 13 4 0 1

= 1 π 4 v 5 4 5 0 1 - 4 v 13 4 13 0 1 = 1 π 4 5 - 0 - 4 13 - 0 = 1 π 4 5 - 4 13

= 4 π 1 5 - 1 13 = 4 π * 13 - 5 13 * 5 = 4 * 8 65 π = 32 65 π

Sem mistério!

Resposta

∫ 0 1 2 s e n π t 4 cos 3 ⁡ π t   d t = 32 65 π