Usar a identidade c o s 2 x + s e n 2 x = 1 e outras substituições para o cálculo da integral:

∫ s e n 2 3 x 3 c o s 5 3 x   d x

Passo 1

Faaaaala, pessoal!

Aqui nós vamos trabalhar bem as integrais trigonométricas pra você mandar bem na prova!

Vamos começar dando uma manipulada nela!

Repare no seguinte: temos potências envolvendo seno e cosseno, com uma delas sendo ímpar.

A ideia é usar isso aqui:

Bora botar a mão na massa?!

Passo 2

Vamos fazer a primeira substituição simples, pra não embolar mais pra frente, beleza?

Temos então:

∫ s e n 2 3 x 3 c o s 5 3 x   d x

Podemos fazer:

u = 3 x

d u = 3 d x → d u 3 = d x

E a nossa Integral fica assim:

∫ s e n 2 u 3 c o s 5 u d u 3 = 1 3 ∫ s e n 2 u 3 c o s 5 u   d u

Até aqui tá tranquilo?

Passo 3

Agora vamos dar AQUELA manipulada que será a chave pra resolver essa integral:

1 3 ∫ s e n 2 u 3 c o s 5 u   d u = 1 3 ∫ s e n 2 u 3 c o s 4 u cos ⁡ u d u

Usando a relação:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1 → c o s 2 x = 1 - s e n 2 x

Podemos reescrever da seguinte forma:

1 3 ∫ s e n 2 u 1 3 c o s 2 u 2 cos ⁡ u d u = 1 3 ∫ s e n u 2 3 1 - s e n 2 u 2 cos ⁡ u   d u

Presta atenção que aqui vem o pulo do gato! Vamos fazer uma segunda substituição simples, se liga:

v = s e n u

d v = cos ⁡ u d u

Aí sobra uma integral bem suave de resolver:

1 3 ∫ v 2 3 1 - v 2 2   d v = 1 3 ∫ v 2 3 v 4 - 2 v 2 + 1   d v

= 1 3 ∫ v 2 3 + 4 - 2 v 2 3 + 2 + v 2 3   d v = 1 3 ∫ v 14 3   d v - 2 ∫ v 8 3   d v + ∫ v 2 3   d v

= 1 3 v 14 3 + 1 14 3 + 1 - 2 v 8 3 + 1 8 3 + 1 + v 2 3 + 1 2 3 + 1 + C = 1 3 v 17 3 17 3 - 2 v 11 3 11 3 + v 5 3 5 3 + C

= 1 3 3 v 17 3 17 - 6 v 11 3 11 + 3 v 5 3 5 + C = v 17 3 17 - 2 v 11 3 11 + v 5 3 5 + C

Passo 4

Agora é só voltar pra nossa variável de origem, x :

v = s e n u

Temos:

s e n 17 u 3 17 - 2 s e n 11 u 3 11 + s e n 5 u 3 5 + C

E voltando

u = 3 x

Temos:

s e n 17 3 x 3 17 - 2 s e n 11 3 x 3 11 + s e n 5 3 x 3 5 + C

Sem mistério!

Resposta

∫ s e n 2 3 x 3 c o s 5 3 x   d x = s e n 17 3 x 3 17 - 2 s e n 11 3 x 3 11 + s e n 5 3 x 3 5 + C