Usar o teorema de Rolle para demonstrar que, qualquer que seja b, existe no máximo um ponto x no intervalo para o qual
Passo 1
Primeiro valor relembrar o que o teorema de Rolle nos diz:
O teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua definida num intervalo e diferenciável em , então existe um valor c em tal que: .
Passo 2
Vamos usar o teorema, supondo que existem 2 pontos no intervalo dado em que , nossa intenção é chegar em alguma contradição, provando por absurdo que não existem 2 pontos (fazer isso com 2 pontos já é o suficiente, pois se não ocorre com 2, não ocorre com 3).
Prova:
Supondo que exista e que
Passo 3
Como é um polinômio, ela é contínua para todo real, então (mais especificamente) é continua no intervalo ou seja, pelo teorema de Rolle, temos algum c em tal que . Podemos aplicar o teorema pois definimos tendo
Como
Porém se você prestou atenção no Teorema de Rolle irá lembrar que c pertence ao intervalo ) e , ou seja, c nunca será igual a 1 ou -1, chegando numa contradição e provando, o enunciado, por absurdo.
Resposta
Demonstração