Usar o teorema de Rolle para demonstrar que, qualquer que seja b, existe no máximo um ponto x no intervalo -1 ≤ x ≤ 1 para o qual x^3 - 3x + b = 0

Passo 1

Primeiro valor relembrar o que o teorema de Rolle nos diz:

O teorema de Rolle afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo a , b e diferenciável em a , b ,   s e   f a = f b   , então existe um valor c em ( a , b ) tal que: f ' c = 0 .

Passo 2

Vamos usar o teorema, supondo que existem 2 pontos no intervalo dado em que x 3 - 3 x + b = 0 , nossa intenção é chegar em alguma contradição, provando por absurdo que não existem 2 pontos (fazer isso com 2 pontos já é o suficiente, pois se não ocorre com 2, não ocorre com 3).

Prova:

Supondo que exista x 1   e   x 2   t a l   q u e   - 1   ≤ x 1 ≤ x 2   ≤ 1     e que f x 1 = f x 2 = 0

Passo 3

Como f x = x 3 - 3 x + b é um polinômio, ela é contínua para todo real, então (mais especificamente) é continua no intervalo [ x 1 ,   x 2 ]   ou seja, pelo teorema de Rolle, temos algum c em ( x 1 ,   x 2 )   tal que f ' c = 0 . Podemos aplicar o teorema pois definimos x 1 ,   x 2   tendo f x 1 = f x 2

Como f ' x = 3 x 2 - 3 ,   f a z e n d o   f ' c = 0   ,   t e m o s :

f ' c = 3 c 2 - 3 = 0 ,   o u   s e j a ,   c = ±   1

Porém se você prestou atenção no Teorema de Rolle irá lembrar que c pertence ao intervalo ( x 1 ,   x 2 ) e - 1   ≤ x 1 ≤ x 2   ≤ 1     , ou seja, c nunca será igual a 1 ou -1, chegando numa contradição e provando, o enunciado, por absurdo.

Resposta

Demonstração