Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 13.4 - Ex. 8

Use a Definição 13.4.2 para determinar todos valores de r tais que f   ( x ,   y ,   z ) = x 2 + y 2 + z 2 r seja diferenciável em (0, 0, 0).

Passo 1

A Definição 13.4.2 diz que: “Dizemos que uma função f de três variáveis é diferenciável em

( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) se existirem f x   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , f y   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e f y   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e”

∆ f - f x   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ x - f y   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ y - f z   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ z ∆ x 2 + ∆ y 2 + ∆ z 2   = 0

Passo 2

Para resolver essa questão, teremos que usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas. Assim, vamos manipular a equação f   x , y , z para facilitar as contas. Considerando que:

u = x 2 + y 2 + z 2

f   u =   u r

Temos pela Regra da Cadeia que:

d f d x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = r u r - 1 * 2 x = 2 x r u r - 1

f x   x , y , z   =   2 x r ( x 2 + y 2 + z 2 ) r - 1

f x   0,0 , 0   =   2 * 0 * r 0 2 + 0 2 + 0 2 r - 1 = 0

d f d y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y = r u r - 1 * 2 y = 2 y r u r - 1

f y   x , y , z   =   2 y r ( x 2 + y 2 + z 2 ) r - 1

f y   0,0 , 0   =   2 * 0 * r 0 2 + 0 2 + 0 2 r - 1 = 0

d f d z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z = r u r - 1 * 2 z = 2 z r u r - 1

f z   x , y , z   =   2 z r ( x 2 + y 2 + z 2 ) r - 1

f z   0,0 , 0   =   2 * 0 * r 0 2 + 0 2 + 0 2 r - 1 = 0

Considerando que:

∆ f = f   x 0 + ∆ x ,   y 0 + ∆ y ,   z 0 + ∆ z - f x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0

Temos que:

∆ f - f x   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ x - f y   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ y - f z   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ z ∆ x 2 + ∆ y 2 + ∆ z 2   = 0 - 0 - 0 - 0 0 2 + 0 2 + 0 2 = 0

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