Enunciado

Use a Definição 13.4.2 para provar que f   ( x ,   y ,   z ) = x 2 + y 2 + z 2 é diferenciável em (0, 0, 0).

Passo 1

A Definição 13.4.2 diz que: “Dizemos que uma função f de três variáveis é diferenciável em

( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) se existirem f x   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) , f y   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e f y   ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) e”

∆ f - f x   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ x - f y   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ y - f z   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ z ∆ x 2 + ∆ y 2 + ∆ z 2   = 0

Passo 2

Fazendo as derivadas f x   x , y , f y   x , y e f z   x , y

f x   x , y , z   =   2 x

f x   0,0 , 0   =   2 * 0 = 0

f y   x , y , z   =   2 y

f y   0,0 , 0   =   2 * 0 = 0

f z   x , y , z   =   2 z

f z   0,0 , 0   =   2 * 0 = 0

Considerando que:

∆ f = f   x 0 + ∆ x ,   y 0 + ∆ y ,   z 0 + ∆ z - f x 0 ,   y 0 ,   z 0 = 0

Temos que:

∆ f - f x   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ x - f y   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ y - f z   x 0 ,   y 0 ,   z 0 ∆ z ∆ x 2 + ∆ y 2 + ∆ z 2   = 0 - 0 - 0 - 0 0 2 + 0 2 + 0 2 = 0

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