Enunciado

Use diferenciais para estimar a variação no volume V = 1 3   x 2 h   de uma pirâmide com uma base quadrada quando sua altura h está crescendo de 2 a 2,2 m, enquanto a dimensão x da base está decrescendo de 1 a 0,9 m. Compare isso com V .

Passo 1

Muito bem, essa questão pode parecer difícil, mas quando você entende os dados que são fornecidos fica tranquila. Vamos lá, lembrando que:

d z =   f x   x , y d x +   f y   x , y d y

E que:

d x =   ∆ x

d y =   ∆ y

Considerando que x corresponde a dimensão da base da pirâmide, y corresponde a altura h e z ao volume, temos.

d x =   ∆ x = 0,9 - 1 = - 0,1

d y =   ∆ y = 2,2 - 2 = 0,2

Passo 2

Considerando que x corresponde a dimensão da base da pirâmide, y corresponde a altura h e z ao volume, temos.

d x =   ∆ x = 0,9 - 1 = - 0,1

d y =   ∆ y = 2,2 - 2 = 0,2

f x   x , h = d V x , h =   2 3   x h

f h   x , h = d V x , h =   1 3   x 2

Agora é só substituir na equação de d V para os pontos iniciais:

d v =   f x   x , h d x +   f h   x , h =   2 3   x h ∆ x +     1 3   x 2 ∆ h  

d v = f x   1,2 d x +   f h   1,2 d h = 2 3 1 2 - 0,1 +     1 3   1 2 0,2 = - 0,06667   m ³

Passo 3

Vamos achar a variação do volume para compararmos:

∆ V = V f i n a l -   V f i n a l = 1 3   0,9 2 2,2 -   1 3   1 2 2 = 0,07267   m ³

Bem tranquilinha, né?

Resposta

d V = - 0,06667 m ³

∆ V = - 0,07267 m ³

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