Use a estratégia do Exemplo 3 para encontrar um valor de h para método de Euler tal que y(1) é aproximado para com a margem de erro ± 0,01 , se y(x) satisfazer o problema de valor inicial.

y' = x - y, y(0) = 0 .

Também encontre, com a margem de erro de ± 0,05 , o valor de x₀ tal que y(x₀) = 0,2 . Compare suas respostas com as dadas pela solução real y = e^(-x) + x - 1 (verifique!). Represente graficamente a aproximação poligonal e a solução real no mesmo eixo de coordenadas.

Passo 1

Falaa, belezaa?? Neste exercício usamos um software para nos ajudar a achar as aproximações, pois é inviável realizar cada soma. Então, vamos para os resultados!!

Passo 2

Na primeira parte da questão, queremos um erro de ± 0,01 em y ( 1 ) .

Realizando os testes, encontramos:

Para h = 0,1     →       y ( 1 ) = 0,34 9

Para h = 0 , 05     →       y ( 1 ) = 0,3 5

Para h = 0 , 0 4     →       y ( 1 ) = 0,3 6

Como queremos um erro, menor ou maior que 0,01 . O h = 0,0 4 garante um erro nessa margem, pois para 0,0 1 varia para h = 0,05 .

Passo 3

Na segunda parte da questão, queremos garantir um erro ± 0,05 , com y x 0 = 0,2 .

Realizando os testes, encontramos:

Para h = 0 , 05     →       y ( 0,7 ) = 0 , 188

Para h = 0,0 4     →       y ( 0,72 ) = 0 , 2

Então, concluímos que para um erro ± 0,05 , o x 0 é igual 0,72 .

Passo 4

A solução quando x = 1 é:

y = e - x + x - 1

y = e - 1

y = 0,3678

Então, a nossa solução está dentro do erro.

Quando x = 0,72 , a solução é:

y = e - 0,72 + 0,72 - 1

y = 0,20675

De novo nossa solução está dentro do erro!!!

O gráfico que representa a aproximação:

Resposta

h = 0,04 e x 0 = 0,72 .