Enunciado

Use a estratégia do Exemplo 3 para encontrar o valor de h para o método de Euler tal que x ( 1 ) seja aproximado com a margem de erro de ± 0,01 , se x ( t ) satisfazer o problema de valor inicial.

d x d t = 1 + x 2 ,             x 0 = 0

Também encontre, com a margem de erro ± 0,02 , o valor de t 0 tal que x t 0 = 1 . Compare suas respostas com as dadas pela solução real x = tan ⁡ t (verifique!).

Passo 1

Falaa, belezaa?? Neste exercício usamos um software para nos ajudar a achar as aproximações, pois é inviável realizar cada soma. Então, vamos para os resultados!!

Passo 2

Na primeira parte da questão, queremos um erro de ± 0,01 em x ( 1 ) .

Realizando os testes, encontramos:

Para h = 3 - 10     →       x ( 1 ) = 1,57

Para h = 2 - 10     →       x ( 1 ) = 1,56

Como queremos um erro, menor ou maior que 0,01 . O h = 2 - 10 garante um erro nessa margem, pois para 0,01 varia para h = 3 - 10 .

Passo 3

Na segunda parte da questão, queremos garantir um erro ± 0,0 2 , com x t 0 = 1 .

Realizando os testes, encontramos:

Para h = 0,05     →       y ( 0 , 75 ) = 0 , 98

Para h = 0,04     →       y ( 0,7 8 ) = 0 , 99

Então, concluímos que o t 0 é igual 0,7 8 .

Passo 4

A solução quando t = 1 é:

x = tan ⁡ t

x = tan ⁡ 1

x = 1,557

Então, a nossa solução está dentro do erro.

Quando t = 0,7 8 , a solução é:

t = tan - 1 ⁡ 1

t = 0 , 785

De novo nossa solução está dentro do erro!!!

Resposta

h = 2 - 10 e t 0 = 0,7 8 .