Use o fato de que o trinômio do segundo grau f λ = ∑ i = 1 n x i + λ y i 2 é ≥ 0 para todo λ ∈ R para provar a desigualdade de cauchy-schwarz.

∑ i = 1 n x i y i 2 ≤ ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ tal que x i = λ y i para todo i = 1 , … , n   o u   y 1 = … = y n = 0

Passo 1

Fala aí pessoal tudo blz?

Nesse exercício use o fato de que o trinômio do segundo grau f λ = ∑ i = 1 n x i + λ y i 2 é ≥ 0 para todo λ ∈ R para provar a desigualdade de cauchy-schwarz.

∑ i = 1 n x i y i 2 ≤ ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2

Prove ainda que vale a igualdade se, e somente se, existe λ tal que x i = λ y i para todo i = 1 , … , n   o u   y 1 = … = y n = 0

Pode ficar calminho que você vai entender legal, só confia.

Passo 2

Sabendo que,

∑ i = 1 n x i y i 2 ≤ ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n y i 2

para,

i = 1 , … , n   o u   y 1 = … = y n = 0

Ficando,

f λ = ∑ i = 1 n x i + λ y i 2 , onde

a = ∑ y i 2 ,       b = 2 ∑ x i y i ,           c = ∑ x i 2

Espero ter ajudado, e até a próxima.

Resposta

a = ∑ y i 2 ,       b = 2 ∑ x i y i ,           c = ∑ x i 2