Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dz/dt .

z = ln(2*x^2 + y); x = raiz(t), y = t^(2/3)

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia.

d z d t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Temos que:

∂ z ∂ x =   1 2 x 2 + y 4 x

∂ x ∂ t =   1 t

∂ z ∂ y =   =   1 2 x 2 + y

∂ y ∂ t =   2 3   t - 1 / 3

Passo 2

Agora é só fazer a substituição

d z d t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t =   4 x 2 x 2 + y * 1 t +   1 2 x 2 + y * 2 3   t - 1 / 3 = 4 t 2 ( t ) 2 + t 2 / 3 * 1 t +   1 2 ( t ) 2 + t 2 / 3 * 2 3   t - 1 / 3 = 4 2 t + t 2 / 3 +   1 2 t + t 2 / 3 * 2 3   t - 1 / 3

d z d t = 2 3 ( 6 + t - 1 / 3 ) ( 2 t + t 2 / 3 )

Bem tranquilinha, né?

Resposta

d z d t = 2 ( 6 + t 2 3 ) 3 ( 2 t + t 2 3 )