Enunciado

Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d z / d t .

z   =   1 + x - 2 x y 4 ;   x   = l n l n   t   ,   y   =   t

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia.

d z d t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Temos que:

∂ z ∂ x =   1 2   1 + x - 2 x y 4 - 1 2 * ( 1 - 2 y 4 )  

∂ x ∂ t =   1 t

∂ z ∂ y =   1 2   1 + x - 2 x y 4 - 1 2 * ( - 8 x y 3 )

∂ y ∂ t =   1

Passo 2

Agora é só fazer a substituição

d z d t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t = 1 2   1 + x - 2 x y 4 - 1 2 * 1 - 2 y 4 * 1 t + 1 2   1 + x - 2 x y 4 - 1 2 * - 8 x y 3 * 1 =   1 2 t   1 + l n l n   t   - 2 t 4 l n l n   t   - 1 2 * 1 - 2 t 4 + 1 2   1 + l n l n   t   - 2 t 4 l n l n   t   - 1 2 * - 8 t 3 l n l n   t   = 1 - 2 t 4 2 t 1 + 1 - 2 t 4 l n l n   t   - 4 t 3 l n l n   t   1 + ( 1 - 2 t 4 ) l n l n   t    

d z d t = 1 - 2 t 4 - 8 t 4 l n l n   t   2 t 1 + l n l n   t - 2 t 4 l n l n   t    

Bem tranquilinha, né?

Resposta

d z d t = - 1 - 2 t 4 1 + 4 l n l n   t   2 t 1 + 1 - 2 t 4 l n l n   t  

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