Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dω / dt .

ω = 5 * x^2 * y^3 * z^4; x = t^2, y = t^3, z = t^5

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia para 3 variáveis.

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

Temos que:

∂ ω ∂ x =   10 x y 3 z 4

∂ x ∂ t =   2 t

∂ ω ∂ y =   15 x 2 y 2 z 4

∂ y ∂ t =   3 t 2

∂ ω ∂ z = 20 x 2 y 3 z 3

∂ z ∂ t =   5 t 4

Passo 2

Agora é só fazer a substituição

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

=   10 x y 3 z 4 * 2 t +   15 x 2 y 2 z 4 * 3 t 2 +   20 x 2 y 3 z 3 * 5 t 4 = 20 t t 2 ( t 3 ) 3 ( t 5 ) 4 +   45 t 2 ( t 2 ) 2 ( t 3 ) 2 ( t 5 ) 4 +   100 t 4 ( t 2 ) 2 ( t 3 ) 3 z ( t 5 ) 3 =   20 t 32 +   45 t 32 +   100 t 32 = 165 t 32

Bem tranquilinha, né?

Resposta

d z d t = 165   t 32