Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dω / dt .

ω = ln(3x² - 2y + 4z³); x = t^(1/2), y = t^(2/3), z = t - 2

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia para 3 variáveis.

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

Temos que:

∂ ω ∂ x =   6 x 3 x 2 -   2 y   +   4 z 3

∂ x ∂ t =   1 2 t 1 2

∂ ω ∂ y =   - 2 3 x 2 -   2 y   +   4 z 3

∂ y ∂ t =   2 3 t 1 3

∂ ω ∂ z = 12 z 2 3 x 2 -   2 y   +   4 z 3

∂ z ∂ t =   - 2 t - 3

Passo 2

Agora é só fazer a substituição

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

=   6 x 3 x 2 -   2 y   +   4 z 3 * 1 2 t 1 2 -   2 3 x 2 -   2 y   +   4 z 3 * 2 3 t 1 3 +   12 z 2 3 x 2 -   2 y   +   4 z 3 * ( - 2 t - 3 ) = 3 t 1 2 3 t 1 2 2 -   2 t 2 3   +   4 t - 2 3 * 1 t 1 2 -   4 3 t 1 2 2 -   2 t 2 3   +   4 t - 2 3 * 1 3 t 1 3 +   - 24 t - 3 t - 2 2 3 t 1 2 2 -   2 t 2 3   +   4 t - 2 3 = 3 3 t -   2 t 2 3   +   4 t - 6 -   4 3 t -   2 t 2 3   +   4 t - 6 * 1 3 t 1 3 +   - 24 t - 7 3 t -   2 t 2 3   +   4 t - 6

d ω d t =   1 3 t -   2 t 2 3   +   4 t - 6 ( 1 -   4 3 t 1 3 - 24 t - 7 )

Resposta

d ω d t =   1 3 t -   2 t 2 3   +   4 t - 6 ( 1 -   4 3 t 1 3 - 24 t - 7 )