Enunciado

Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d ω / d t .

ω   = 5   c o s   x y   -   s e n   x z ;   x   =   1 / t ,   y   =   t ,   z   =   t 3

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia para 3 variáveis.

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

Temos que:

∂ ω ∂ x =   - 5 y s e n x y - z c o s x z

∂ x ∂ t =   - t - 2

∂ ω ∂ y =   - 5 x s e n x y

∂ y ∂ t =   1

∂ ω ∂ z = - x c o s x z

∂ z ∂ t =   3 t 2

Passo 2

Agora é só fazer a substituição

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

= - 5 y s e n x y - z c o s x z * - t - 2 - 5 x s e n x y - x c o s x z * 3 t 2 =   - t - 2 - 5   t s e n t t - t 3 c o s c o s   t 3 t   - 5 t s e n t t - 3 t 2 1 t c o s   t 3 t = - t - 2 - 5   t s e n 1 - t 3 c o s   t 2 - 5 t s e n 1 - 3 t c o s   t 2 = t c o s   t 2 - 3 t c o s   t 2 =   - 2 t c o s   t 2

Resposta

d ω d t =   - 2 t c o s   t 2

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