Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dω / dt .

ω = raiz(1 + x - 2y * z^4 * x); x = ln(ln t), y = t, z = 4t

Passo 1

Muito bem, essa questão é aplicação direta da Regra da Cadeia para 3 variáveis.

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

Temos que:

∂ ω ∂ x =   1 2   1 + x - 2 y z 4 x - 1 2 * ( 1 - 2 y z 4 )  

∂ x ∂ t =   1 t

∂ ω ∂ y =   1 2   1 + x - 2 y z 4 x - 1 2 * ( - 2 z 4 x )  

∂ y ∂ t =   1

∂ ω ∂ z = 1 2   1 + x - 2 y z 4 x - 1 2 * ( - 8 y z 3 x )

∂ z ∂ t =   4

Passo 2

Agora é só fazer a substituição

d ω d t = ∂ ω ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ ω ∂ y ∂ y ∂ t + ∂ ω ∂ z ∂ z ∂ t

= 1 2   1 + x - 2 y z 4 x - 1 2 * 1 - 2 y z 4 * 1 t + 1 2   1 + x - 2 y z 4 x - 1 2 * - 2 z 4 x * 1   + 1 2   1 + x - 2 y z 4 x - 1 2 * - 8 y z 3 x * 4 =   1 2 t   1 + l n l n   t   - 2 t 4 t 4 l n l n   t   - 1 2 * 1 - 2 t 4 t 4 - 1 2   1 + l n l n   t   - 2 t 4 t 4 l n l n   t   - 1 2 * 2 4 t 4 l n l n   t   - 1 + l n l n   t   - 2 t 4 t 4 l n l n   t   - 1 2 * 16 t 4 t 3 l n l n   t   =   1 2 t   1 + l n l n   t   - 512 t 5 l n l n   t   - 1 2 * 1 - 512 t 5 -   1 + l n l n   t   - 512 t 5 l n l n   t   - 1 2 * 128 t 4 l n l n   t   -   1 + l n l n   t   - 512 t 5 l n l n   t   - 1 2 * 1024 t 4 l n l n   t   = 1 + l n l n   t   - 512 t 5 l n l n   t   - 1 2 1 - 512 t 5 2 t - 128 t 4 l n l n   t   -   1024 t 4 l n l n   t   = 1 - 512 t 5 - 256 t 5 l n l n   t   -   2048 t 5 l n l n   t   2 t 1 + l n l n   t   - 512 t 5 l n l n   t   =   1 - 512 t 5 - 2304 t 5 l n l n   t   2 t 1 + l n l n   t   - 512 t 5 l n l n   t   = 1 - 512 t 5 ( 1 + 4,5 l n l n   t   ) 2 t 1 + ( 1 - 512 t 5 t    

Resposta

d ω d t =   1 - 512 t 5 ( 1 + 4,5 l n l n   t   ) 2 t 1 + ( 1 - 512 t 5 t