Use integrais duplas para encontrar a área da região dada.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Dado a região dentro do laço de limaçon temos r = 2 - 4 sin ⁡ θ

Passo 2

Realizando o calculo da intgral dupla vamos ter que como intervalos do limaçon 7 π 6     a   11 π 6

∫ 7 π 6 11 π 6 2 - 4 sin ⁡ θ 2

∫ 7 π 6 11 π 6 4 - 16 sin ⁡ θ + 16 sin 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos ver que a integral possui um valor que podemos simplificar que é o sin 2 ⁡ θ , se lembrarmos de regra trigonométrica vamos ter que,

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 , com isso

∫ 7 π 6 11 π 6 4 - 16 sin ⁡ θ + 16 sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 7 π 6 11 π 6 4 - 16 sin ⁡ θ + 4 1 - cos ⁡ 2 θ 2 =   ∫ 7 π 6 11 π 6 4 - 16 sin ⁡ θ + 2 - 2 cos ⁡ 2 θ   d θ = 4 π + 12 3

Resposta

4 π + 12 3