Use integrais duplas para encontrar a área da região dada.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Dado a região no cardióide r = 2 ( 1 + s i n s i n   θ )  

Passo 2

Sabendo que θ varia de 0,2 π , e que r varia 0 ,   2 ( 1 + s i n s i n   θ )   teremos que,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 + 2 s i n s i n   θ   r d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 │ 0 2 ( 1 + s i n s i n   θ )   = ∫ 0 2 π [ 2 ( 1 + s i n s i n   θ )   ] 2 2   = ∫ 0 2 π 2 [ 1 + 2 s i n s i n   θ +   θ ]  

Aqui vamos precisar nos lembrar que θ =   1 - c o s c o s   2 θ   2   , a partir disso vamos ter que,

∫ 0 2 π 2 [ 1 + 2 s i n s i n   θ +   1 - c o s c o s   2 θ   2 ] = ∫ 0 2 π 2 + 4 s i n s i n   θ +     2 - 2 c o s c o s   2 θ   2 =     ∫ 0 2 π 2 + 4 s i n s i n   θ   + 1 - c o s c o s   2 θ      

2 θ - 4 c o s c o s   θ   - s i n s i n   2 θ . 2   │ 0 2 π = 6 π

Resposta

6 π