Use integrais duplas para encontrar a área da região dada.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Para região dentro do limaçon temos r = 3 - cos ⁡ θ e para fora da circunferência temos r = 5 cos ⁡ θ

Passo 2

Para iniciarmos a questão temos que o intervado do limaçon vale [ 7 π 6 , 11 π 6 ] e o da circunferência é [ 0,2 π ] , com isso vamos ter que

∫ 7 π 6 11 π 6 3 - cos ⁡ θ 2 - ∫ 0 2 π 1 2 5 cos ⁡ θ 2 d θ

∫ 7 π 6 11 π 6 9 - 6 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - ∫ 0 2 π 1 2 [ 25 cos 2 ⁡ θ ]

Lembrando de regra trigonométricas vamos saber que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ 2

∫ 7 π 6 11 π 6 9 - 6 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ θ 2 - ∫ 0 2 π 1 2 25 1 + cos ⁡ θ 2

9 θ - 6 sin ⁡ θ + 1 2 θ + sin ⁡ θ 2 │ 7 π 6 11 π 6 - 25 4 θ + 25 sin ⁡ θ 4 │ 0 2 π = 5 π 12

Resposta

5 π 12