Enunciado

Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita: a região compreendida pela rosácea r = sen ⁡ 2 θ .

Passo 1

Olá galera! Lembrem-se que os problemas deste tipo se resolvem aplicando a seguinte fórmula

á r e a   d e   R = ∬ R 1   d A = ∬ R d A

onde R é a área duma região do plano xy.

Passo 2

Sendo assim, só nos resta esboçar a região R com a finalidade de conhecer os intervalos onde r e θ varia. Boraaa encontrar esses intervalos!

Olhando o esboço da região R podemos notar que 0 ≤ r ≤ sen ⁡ 2 θ e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Galeraaa que tal aproveitar a simetria da região R e integrando em 0 ≤ θ ≤ π 2 e depois multiplicar esta integral pelo 4 . É isso mesmo que iremos fazer!

Passo 3

A = 4 ∫ 0 π 2 ∫ 0 sen ⁡ 2 θ r   d r   d θ

= 4 ∫ 0 π 2 r 2 2 r = 0 sen ⁡ 2 θ d θ

= 2 ∫ 0 π 2 s e n ² ( 2 θ ) d θ

= 2 ∫ 0 π 2 1 2 ( 1 - cos ⁡ 4 θ )   d θ

= ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ 4 θ )   d θ

= ( θ - 1 4 sen ⁡ 4 θ ) θ = 0 π / 2

= π 2

Resposta

A = π 2

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