Enunciado

Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita: a região do primeiro quadrante limitada por r = 1 e r = sen ⁡ 2 θ com π 4 ≤ θ ≤ π 2 .

Passo 1

Olá galera! Lembrem-se que os problemas deste tipo se resolvem aplicando a seguinte fórmula

á r e a   d e   R = ∬ R 1   d A = ∬ R d A

onde R é a área duma região do plano xy.

Passo 2

Sendo assim, só nos resta esboçar a região R com a finalidade de conhecer os intervalos onde r e θ varia. Boraaa encontrar esses intervalos!

Olhando o esboço da região R podemos notar que sen ⁡ 2 θ ≤ r ≤ 1 e π 4 ≤ θ ≤ π / 2 . Boraaa calcular esta área.

Passo 3

A = ∫ π 4 π 2 ∫ sen ⁡ 2 θ 1 r   d r   d θ

=   ∫ π 4 π 2 r 2 2 r = sen ⁡ 2 θ 1 d θ

= 1 2 ∫ π 4 π 2 1 - s e n 2 ( 2 θ ) d θ

= 1 2 ∫ π 4 π 2 c o s 2 ( 2 θ )   d θ

= 1 2 ∫ π 4 π 2 1 2 ( 1 + cos ⁡ 4 θ )   d θ

= 1 4 ( θ + 1 4 sen ⁡ 4 θ ) θ = π 4 π 2

= 1 4 π 2 + 1 4 sen ⁡ 4 ∙ π 2 - 1 4 π 4 + 1 4 sen ⁡ 4 ∙ π 4

= π 8 - π 16

= π 16

Resposta

A = π 16

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