Enunciado

Cálculo - Anton, Bivens, Davis - Cálculo Vol 2 - Capítulo 14.3 - Ex. 7

Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região descrita: a região compreendida pela cardioide r = 1 - cos ⁡ θ .

Passo 1

Olá galera! Lembrem-se que os problemas deste tipo se resolvem aplicando a seguinte fórmula

á r e a   d e   R = ∬ R 1   d A = ∬ R d A

onde R é a área duma região do plano xy.

Passo 2

Sendo assim, só nos resta esboçar a região R com a finalidade de conhecer os intervalos onde r e θ varia. Boraaa encontrar esses intervalos!

Olhando o esboço da região R podemos notar que 0 ≤ r ≤ 1 - cos ⁡ θ e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Galeraaa que tal aproveitar a simetria da região R em relação ao eixo das abcissas e integrando em 0 ≤ θ ≤ π e depois multiplicar esta integral pelo 2 . É isso mesmo que iremos fazer!

Passo 3

A = 2 ∫ 0 π ∫ 0 1 - cos ⁡ θ r   d r   d θ = 2 ∫ 0 π r 2 2 r = 0 1 - cos ⁡ θ d θ

= 2 ∫ 0 π ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 2 d θ

= ∫ 0 π ( 1 - 2 cos ⁡ θ + c o s 2 ( θ ) )   d θ

= ( θ - 2 sen ⁡ θ ) θ = 0 π + ∫ 0 π 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ )   d θ

= π + θ 2 + 1 4 sen ⁡ 2 θ θ = 0 π

= π + π 2

= 3 π 2

Resposta

A = 3 π 2

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